Thông Luận

Cơ quan ngôn luận của Tập Hợp Dân Chủ Đa Nguyên

Published in

Tư liệu

05/05/2024

"Làm tròn hình vuông"

Lan Tâm

Hệ quả chưa từng có sau lời giải của 3 bài toán khó từ thời cổ Hy Lạp

Ngày 25/09/2023, Thông Luận đã loan tin "Ba bài toán khó từ thời cổ Hy Lạp đã tìm được giải đáp" kèm với chú thích "Ba bài toán từ thời cổ Hy Lạp thách đố nhân loại hơn 2500 năm đã có được giải đáp chính xác năm 2023 nầy do một người Việt tại Vương quốc Anh tìm ra".

Ba bài toán khó nầy là "Gấp đôi khối vuông" (Doubling the Cube), "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle) và "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle), thuộc lãnh vực toán hình học Euclide, được đề xuất lần đầu tiên bằng tiếng Hy Lạp cách đây hơn 2500 năm, vốn có ảnh hưởng cực kỳ lớn đến sự phát triển của hình học. Xưa kia Hy Lạp là quê hương của muôn ngàn những triết gia và nhà khoa học lừng danh. Cách đây hơn 2500 năm, Toán học bắt đầu phát triển mạnh về Hình học với các nhà toán học lừng danh như Euclide, Hypocrates, Pythagoras, Archimedes và Thales…

hinhhoc1

Cách đây hơn 2500 năm, Toán học bắt đầu phát triển mạnh về Hình học với các nhà toán học lừng danh như Euclide, Hypocrates, Pythagoras, Archimedes và Thales…

Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại cho toán học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng nhất, làm phát triển nhiều phương pháp Toán học và những chủ đề mới của Toán học. Trong số những chủ đề nầy có 3 vấn nạn toán học do Toán học cổ đại Hy Lạp đưa ra thách thức (challenge) nhân loại cách đây hơn 2500 năm và mãi cho đến năm 2022 vẫn chưa có nhà toán học nào phát minh được lời giải đúng. Đó là 3 thách thức Hình học cổ điển rất đơn giản và rất dễ hiều như sau :

1. Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle),

2. Chia ba một góc (Trisecting an Angle) và

3. Gấp đôi khối vuông (Double the Cube)

với điều kiện giới hạn là "chỉ được dùng thước thẳng (straight edge) và com-pa (compass) để kiến tạo đáp số (construct the solution).

Bất cứ ai học xong Hình học (Geometry) ở bậc trung học đều có thể hiểu 3 đầu đề nói trên, nhưng vì điều kiện giới hạn của 3 bài toán thách thức nầy mà chưa ai giải được nó trong suốt hơn 2 thiên kỷ rưỡi vừa qua.

Mãi cho đến năm nay 2023, một nhà toán học Việt Nam, ông Trần Đình Sơn, tỵ nạn tại Vương quốc Anh từ năm 1984 đã tìm ra được giải đáp đúng 100% (chứ không phải giải đáp gần đúng) cho 3 thách thức Toán học thiên niên kỷ (millennium challenge) nầy. Ba phát minh vĩ đại nầy đã được các viện quốc tế về Toán công nhận và xuất bản trên Tạp chí Quốc tế về Xu hướng và Công nghệ Toán học (The International Journal of Mathematics Trends and Technology, viết tắt là IJMTT) vào tháng 5, tháng 6 và tháng 8/2023 vừa qua.

Theo ông Trần Đình Sơn, 3 bài toán này có mối liên hệ chặt chẽ với nhau và có cùng một chìa khóa để mở ra lời giải và chìa khóa đó nằm trong ý tưởng (idea) của Đạo Đức Kinh của triết gia Lão Tử (*) : "Đại Đạo rất là đơn giản, rất giản dị" !

Nhiều định chế toán học quốc tế đã xuất bản 3 công trình phát minh ra lời giải nói trên và truyền thông Anh ngữ (English media) cũng đã loan tin rầm rộ (xem phần tham khảo ở cuối).

 

Chia ba một góc

Phép "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle) thành 3 phần bằng nhau là một bài toán cổ điển với yêu cầu chỉ sử dụng hai công cụ : thước thẳng (straightedge không chia độ) và compa (compass). Thật khó để đưa ra ngày tháng chính xác về thời điểm bài toán chia ba góc xuất hiện lần đầu tiên. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng Hippocrates, cũng đã nghiên cứu bài toán chia ba một góc, nhưng đã sử dụng một dấu trên thước thẳng để làm cho cây thước không còn là một thước thẳng nữa. Hầu hết các nhà sử học Toán học tin rằng nhiều kết quả đưa ra trong sách Bổ Đề thực sự là do Archimedes và kết quả trên đường xoắn ốc đưa ra về việc chia ba một góc rất phù hợp với tinh thần của tác phẩm nầy. Tuy nhiên, phép chia ba này của Archimedes không phải là một phương pháp chính xác và không sử dụng thước thẳng như đề toán nầy yêu cầu. Phương pháp khác do Nicomedes đưa ra sử dụng đường cong conchoid, nhưng đường cong này không thể vẽ chính xác và mang tính lý thuyết hơn là thực tế. Rõ ràng, cách chia ba góc của Hippocrates, Archimedes hoặc sử dụng conchoid của Nicomedes (khoảng năm 200 trước Công nguyên) là đúng nhưng không tuân theo "luật chơi" tức là sử dụng thước thẳng và compa. Có thể họ đã nghĩ ra đủ mọi cách nhưng không làm được nên phải tự nghĩ ra cách riêng để giải quyết vấn đề này. Về sau, có rất nhiều nỗ lực của các thế hệ nhà Toán học nối tiếp nhau đều không làm được nên họ đã nghĩ ra nhiều cách khác nhau và nhờ đó Toán học có cơ hội phát triển.

Nhà toán học Pháp là Pierre Wantzel đã chứng minh vào năm 1837 rằng bài toán, như đã nêu, không thể giải được với các góc tùy ý. Năm 1837, Wantzel công bố bằng chứng trên Tạp chí Liouville về "các phương pháp xác định xem một bài toán hình học có thể giải được bằng thước thẳng và compa hay không", và ông là người đầu tiên chứng minh việc chia ba một góc không thể giải được bằng thước thẳng và compa. Nhưng nhà toán học Việt Nam nầy đã sử dụng thước thẳng và compa để xây dựng đáp số và chứng minh có thể chia ba một góc tùy ý một cách đơn giản mà không cần sử dụng bất kỳ đường cong nào, với công cụ toán học là một số định đề & định lý hình học ở cấp Trung học. Kết quả nầy là một phản chứng (counter-proof) cho phương pháp của Pierre Wantzel. Kết quả của phát minh nầy là lời giải chính xác cho thử thách hàng ngàn năm "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle) chỉ dùng một thước thẳng, một compa và các định đề & định lý Hình học ờ cấp Trung học Phổ Thông, chứ không hề dùng các phương pháp Toán phức tạp & khó khăn từ cấp Đại học trở lên. Do đó, bất cứ người nào đã học xong Toán Hình học ờ bậc Trung học cũng có thể đọc và hiểu được phát minh nầy (Tạp chí Toán học Quốc tế/IJMTT số ra ngày 17/06/2023).

 

Làm vuông hình tròn

Đáp án toán học cho bài toán "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) là phát minh thành công thứ hai của nhà toán học Việt Nam nói trên (Tạp chí Toán học Quốc tế/IJMTT số ra ngày 17/06/2023). Lịch sử của bài toán "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) bằng thước thẳng và compa đã có từ hàng thiên niên kỷ - trước 450 trước Công nguyên (gần 2.500 năm), theo Quanta, một tạp chí khoa học và toán học. Từ xưa cho đến nay, các bài toán liên quan đến số π đã thu hút sự quan tâm của vô số nhà chuyên môn toán và các nhà toán học không chuyên nghiệp.

 

Gấp đôi khối vuông

Trong hình học Euclide cổ điển, người ta đã chứng minh rằng việc "Gấp đôi khối vuông" (Doubling the Cube) bằng hai công cụ "thước thẳng & compa" là không thể. Điều không thể xảy ra này bắt nguồn từ thực tế là căn bậc ba của số 2 (cần thiết để gấp đôi khối lập phương) không thể tạo dựng (construct) được chỉ bằng thước thẳng và compa. Việc xây dựng yêu cầu tìm độ dài bằng căn bậc ba của số 2, là một số siêu việt (irrational). Nhiều nỗ lực khác nhau đã được thực hiện trong suốt lịch sử để giải quyết vấn đề, nhưng chúng liên quan đến các kỹ thuật toán học tiên tiến hơn ngoài các công trình cổ điển. Những phương pháp này thường liên quan đến các khái niệm đại số hoặc hình học vượt ra ngoài phạm vi của cách tạo dựng (construction) hình học bằng thước thẳng và compa truyền thống.

Cho đến năm 2022, không có giải pháp chính xác nào cho thách thức "Gấp đôi khối vuông" chỉ bằng thước thẳng và compa, dựa trên hình học Euclide cổ điển. Công bằng mà nói thì mặc dù bài toán "Làm vuông hình tròn" đã trở nên nổi tiếng nhất ở thời hiện đại, nhưng chắc chắn bài toán "Gấp đôi khối vuông" còn nổi tiếng hơn vào thời Hy Lạp cổ đại. Thử thách "Gấp đôi khối vuông" yêu cầu một phương pháp xây dựng một khối vuông có thể tích gấp đôi khối vuông đã cho. Điều đó có nghĩa là nếu thể tích khối vuông đã cho là 1 đơn vị thể tích 1 mét khối thì chúng ta phải tạo dựng một khối vuông có cạnh 2 từ khối vuông đơn vị đã cho này, chỉ sử dụng compa và thước thẳng. Việc tạo dựng khối vuông có cạnh 2 đã từng được cho là không thể thực hiện được theo những hạn chế đã nêu của hình học Euclide.

Bất chấp nỗ lực của nhiều nhà toán học, bài toán này vẫn chưa được giải quyết trong hơn hai nghìn năm và nó trở thành một trong những bài toán chưa giải nổi tiếng và hấp dẫn nhất trong lịch sử toán học. Nó vẫn được nghiên cứu trong các khóa học toán học như một vấn đề mang tính lịch sử và đầy thách thức, đồng thời lời giải của nó tiếp tục truyền cảm hứng và ảnh hưởng đến các nhà toán học cũng như sinh viên. Nhà toán học người Pháp Pierre Wantzel, 1837, đã chứng minh rằng không thể nhân đôi một khối vuông chỉ bằng thước thẳng và compa.

Nhưng trong phát minh thứ 3 nầy của nhà toán học Việt Nam nói trên về việc kiến tạo một khối vuông có thể tích gấp đôi một khối vuông cho sẵn, với một độ chính xác 100% đã được chứng minh cũng bằng Hình học ở cấp Trung học và đã được quốc tế thừa nhận và xuất bản cho toàn cầu vào tháng 8/2023 vừa qua. Các kết quả thu được có thể kết luận rằng tuyên bố về tính không thể của Pierre Wantzel không có giá trị về mặt hình học, vì nó không đưa ra mối quan hệ hình học giữa bậc hai và phần mở rộng bậc ba. Nhà toán học Việt Nam nầy đã tuân thủ nghiêm ngặt các ràng buộc trong việc sử dụng thước thẳng và compa để phát triển một phương pháp giải chính xác bài toán "Nhân đôi khối lập phương" bằng hình học theo một kỹ thuật đặc biệt (Exact Doubling The Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry (ijmttjournal.org) ).

***

Làm tròn hình vuông (Circling the Square)

Sau gần một năm được các định chế quốc tế toán học xuất bản 3 phát minh đó, tác giả Trần Đình Sơn đã lập thêm một kỳ tích mới phát sinh từ 3 lời giải nói trên. Gọi là mới vì đề tài nầy phát sinh, vào tháng 1/2024 nầy, từ lời giải năm 2023 của 3 bài toán cổ Hy Lạp nói trên, chỉ khác là đặt vấn đề ngược lại với 1 trong 3 bài toán cổ "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) thành bài toán "Làm tròn hình vuông" (Circling the Square). Nói rõ hơn thì đề tài nghiên cứu nầy có tên là "Hãy dùng thước thẳng và com-pa kiến tạo một hình tròn có diện tích bằng đúng với hình vuông đã cho sẵn" (Use straightedge and compass to construct the circle that has exactly area equal to the given square).

tronhoahinhvuong1

Giải đáp phản ánh sự trung thực của bài toán (Trần Đình Sơn) - Ảnh minh họa 

Đề tài nghiên cứu đơn giản như vậy nên bất cứ ai đã học qua môn Hình học sơ cấp bậc trung học đều hiểu rõ đề tài rất dễ dàng. Tuy vậy, cái khó là chỉ được dùng phương pháp Hình học Kiến tạo (Construction Geometry) với 2 dụng cụ duy nhất là thước thẳng (straightedge) và compa (compass) để tạo hình tròn đúng chính xác 100% cho lời giải, chứ không được dùng Số học, Đại số học hay các phép tính trong toán học để giải. Bởi vì, tính toán chỉ cho ra kết quả gần đúng, chứ không đúng chính xác 100% do số Pi (p) và căn bậc 2 (square root) không phải là những số đúng (irrational number), nên không cho được kết quả đúng. Lời giải đúng và chính xác 100% cho thách thức mới nầy cũng đã được ông Trần Đình Sơn tìm thấy trong tháng Giêng năm 2024 nầy và đã được xuất bản quốc tế Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry (ijmttjournal.org) .

Tóm lại, những bài toán thách thức cổ điển này cực kỳ quan trọng trong sự phát triển của hình học. Ba bài toán như vậy đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà hình học sau này đến nỗi chúng được gọi là những "bài toán cổ điển" vĩ đại : "Chia ba một góc" (Trisecting an Angle), "Làm vuông hình tròn" (Squaring the Circle) và "Gấp đôi khối vuông" (Double the Cube". Vào năm 2023, chúng đã được giải quyết chính xác bởi một người Việt tỵ nạn thuộc thế hệ thứ nhất tại Vương quốc Anh và phát minh nầy đã được quốc tế thừa nhận & xuất bản như một phát minh Toán rất vĩ đại của thế kỷ 21. Tiếp theo đó nhà nghiên cứu toán học nầy đã mở ra một dự án (projet) mới cho ngành toán Hình học Euclide mà dự án nầy chỉ mới hình thành từ tháng Giêng 2024 do hậu quả phát sinh từ 3 phát minh trước đó của tác giả vào năm 2023 trước đó.

Bài toán "Làm tròn hình vuông" (Circling the Square) là bài toán đầu tiên của dự án đã được giải rõ và đã được quốc tế xác nhận (Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry - ijmttjournal.org). Theo nhận định của giới nghiên cứu toán học quốc tế thì dự án nầy gồm hơn một chục đề tài nghiên cứu như, ‘Làm vuông một ngũ giác đều ; Làm vuông một lục giác đều ; Chia hai một khối lập phương ; Làm tròn một ngũ giác dều ; Làm tròn một lục giác đều ; v.v. và v.v.

Đến tháng 4/2024 thì nhà toán học nầy đã được quốc tế đề cử làm ứng viên (candidate) cho 2 giải thưởng quốc tế là giải ABEL và giải ACM AWARD. Hiện giờ Google đã phổ biến các công trình phát minh nói trên khá rầm rộ trên Internet (xem trong Thư mục bên dưới).

Lan Tâm

(04/05/2024)

Chú thích : 

(*) Lao Tzu (Author of Tao Te Ching) : "The great Tao is very simple, very simple !" (Lão Tử - tác giả Đạo Đức Kinh : "Đại Đạo rất là đơn giản, rất giản dị").

Thư mục tham khảo :

[01] 1st Invention, "Exact Angle Trisection with Straightedge and Compass by Secondary Geometry", by Tran Dinh Son, IJMTT published date : 22 May 2023, Exact Angle Trisection with Straightedge and Compass by Secondary Geometry (ijmttjournal.org)

[02] 2nd Invention, "Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry", by Tran Dinh Son, IJMTT published date : 17 June 2023, 

[03] 3rd Invention, "Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry", by Tran Dinh Son, IJMTT published date : 29 August 2023, Exact Doubling The Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry (ijmttjournal.org)

[04] 4th Invention

* International Journal of Mathemathics Trends and Technology : "Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry", by Tran Dinh Son. IJMTT published date : 31 January 2024 Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry (ijmttjournal.org)

* International Journal of Recent Advances in Multidisciplinary Reaserch - IJRAMR, published date : 30 March 2024. AbstractFull article paperCurrent Issue No. 4 

[05] Cornel Unversity Library , ZoteroBib : Fast, free bibliography generator - MLA, APA, Chicago, Harvard citations (zbib.org)

[06] Academia, (3) Son Tran - Academia.edu

[07] The Semantic Scholar, https://www.semanticscholar.org/me/library/all

[08] www.academia.edu › 103490898 › Exact_Angle Exact Angle Trisection with Straightedge and compass in Euclidean Geometry, Academia.edu , https://www.academia.edu/103490898/Exact_Angle_Trisection_with_Straightedge_and_Compass_by_Secondary_Geometry

[09] www.semanticscholar.org › paper › Exact-Doubling-the Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by ...

Aug 30, 2023, Tran Dinh Son. Published in International Journal of… 30 August 2023. Mathematics - This independent research shows an exact precision and accurate solution for the ancient Greek

[10] Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry

[11] Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry

[12] All article papers here 

[13] Dinh Son, Tran. ‘Circling the Square with Straightedge and Compass in Euclidean Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 70, no. 1, Jan. 2024, pp. 16–26. DOI.org (Crossref)

[14] Son, Tran Dinh. ‘Exact Doubling the Cube with Straightedge and Compass by Euclidean Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 8, Aug. 2023, pp. 45–54. 

[15] ‘Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry’. International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 6, June 2023, pp. 39–47, DOI.org (Crossref)

[16] ijmttjournal.org › public › assets Circling the Square with Straightedge and Compass in ... , Tran Dinh Son United Kindom. Corresponding Author : Cette adresse e-mail est protégée contre les robots spammeurs. Vous devez activer le JavaScript pour la visualiser. Received : 29 November 2023 Revised : 02 January 2024 Accepted : 16 January 2024 Published : 31 January 2024 Abstract - There are three classical problems remaining from ancient Greek mathematics which are extremely influential in the development of Geometry.

[17] International Journal of Mathematics Trends and Technology, vol. 69, no. 6, pp. 39-47, 2023. [ CrossRef ] [Google Scholar] [Publisher Link ].ijmttjournal.org › archive › IJMTT-V70I1P103 Circling the Square with Straightedge and Compass in... Tran Dinh Son,"Exact Squaring … with Straightedge and Compass by Secondary Geometry".

[18] ijmttjournal.org › archive › ijmtt-v69i6p506 Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Apr 16, 2023, Tran Dinh Son Abstract There are three classical problems remaining from ancient Greek mathematics, which are extremely influential in the development of geometry. They are "Trisecting An Angle", "Squaring The Circle", and "Doubling The Cube" problems.

[19] www.researchgate.net › publication › 372388943_Exact Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Jun 30, 2023, Download Citation | On Jun 30, 2023, Tran Dinh Son published Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by Secondary Geometry | Find, read and cite all the research you need on...

[20] www.academia.edu › 114992702 › Exact_Squaring_the Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ...

Keywords - Squaring the circle, Quadrature of the circle, Make a circle squared, Find a square area same as the circle, Circling the square, Make a square rounded. 1. Introduction Doubling a cube, trisecting an angle, and squaring the circle are the problems in geometry first proposed in Greek mathematics, which were extremely influential in the development of Geometry.

[21] www.academia.edu › 103490762 › Exact_Squaring_the Exact Squaring the Circle with Straightedge and Compass by ... Tran Dinh Son / IJMTT, 69(6), 39-47, 2023 Results of my independent research show that the square ABCD, constructed by compass & straightedge, has the exact area r², therefore if the given…

Quay lại trang chủ

Additional Info

  • Author: Lan Tâm
Read 2867 times

15 comments

  • Comment Link Đông Hà mercredi, 17 juillet 2024 14:36 posted by Đông Hà

    Chuyện tác giả TDS định giải mấy bài toán cổ Hy Lạp nhưng không thành công thì nay đã rõ.
    Nhưng trong bài “Làm tròn hình vuông” này, Lan Tâm lại kể rằng công trình của TDS đã được “các viện quốc tế về Toán công nhận và xuất bản trên Tạp chí Quốc tế về Xu hướng và Công nghệ Toán học” (tức là tạp chí International Journal of Mathematics Trends and Technology, IJMTT).
    Tôi ngạc nhiên về phát biểu này.
    Phải chi Lan Tâm kể thêm chi tiết là các viện quốc tế về toán nào thì tiện cho người đọc theo dõi hơn.
    Riêng về tạp chí IJMTT thì tôi được biết vài chi tiết như sau:

    Tạp chí IJMTT thuộc tổ chức Seventh Sense Research Group (SSRG) ở bên Ấn Độ.
    Cùng với IJMTT, SSRG còn cho xuất bản khoảng 30 tạp chí khác về đủ mọi ngành, tờ nào cũng có cùng một tên ở đầu giống nhau, tức là tất cả đều là những “Tạp Chí Quốc Tê” (“International Journal”) về một bộ môn nào đó.
    Đây là website của SSRG: https://www.internationaljournalssrg.org/ssrg-journals.html.
    IJMTT không phải là một tạp chí thuộc một đại học, hoặc một viện nghiên cứu về toán nào.
    IJMTT chỉ là một trong mấy chục tạp chí đủ loại của SSRG.

    Còn một chi tiết khác: cơ quan chủ quản của IJMTT là SSRG đã từng có tên trong danh sách “Beall’s list of potential predatory journals and publishers”. Xin xem vần S trong danh sách sau đây: https://beallslist.net.

  • Comment Link Hoàng Trường Sa mercredi, 19 juin 2024 22:05 posted by Hoàng Trường Sa

    Trong phần cuối này, tôi sẽ tính diện tích viên phân cạnh a’b’ của vòng tròn (O, s) và diện tích cung - conic vuông Aa’h’ và so sánh để kiểm chứng là hai diện tích này bằng nhau như Định lý 1 đã kết luận. Điều này cho thấy Định lý 1 đúng nhưng Định lý 2 sai.

    Trước hết, nhắc lại rằng ta có:

    |Oa’| = |Ob’| = |Oh’| = s = a/√π;

    |a’b’| = L = a√[(4 - π)/π];

    OM = a/2;

    |h’a’| = (a - L)/√2 = a{1 - √[(4 - π)/π]}/√2 = a[√π - √(4 - π)]/√(2π).

    Gọi u là góc a’Ob’ (tính bằng độ), thì tam giác vuông a’MO cho ta:

    sin(u/2) = |a’M|/|Oa’| = (a/2)√[(4 - π)/π] /(a/√π) = √[(4 - π)/4].

    Do đó: u/2 = arcsin(√[(4 - π)/4])

    Hay: u = 2 arcsin(√[(4 - π)/4]).

    Trong đó arcsin là hàm số nghịch của hàm sin và thường được biết là sin^(-1).

    Do đó:

    Diện tích hình quạt tròn a’Ob’ = (u/360) x Diện tích vòng tròn (O, s)

    = (2/360)arcsin(√[(4 - π)/4]) x a²

    = (a²/180)arcsin(√[(4 - π)/4]).

    Diện tích tam giác a’Ob’ = (1/2) x |a’b’| x OM

    = (1/2) x a√[(4 - π)/π] x (a/2)

    = (a²/4)√[(4 - π)/π].

    Diện tích viên phân cạnh a’b’ = Diện tích hình quạt tròn a’Ob’ - Diện tích tam giác a’Ob’

    = (a²/180)arcsin(√[(4 - π)/4]) - (a²/4)√[(4 - π)/π]

    = (a²/4){(1/45)arcsin(√[(4 - π)/4]) - √[(4 - π)/π]} (1)

    = 0.0226364922 a². (1’) (sử dụng một scientific calculator)

    Tương tự, gọi v là góc h’Oa’ và V là trung điểm của cạnh h’a’. Ta có:

    sin(v/2) = |h’V|/|Oh’| = (1/2)|h’a’|/|Oh’|

    = {(a/2)[√π - √(4 - π)]/√(2π)}/{a/√π} = [√π - √(4 - π)]/(2√2).

    Suy ra, trước hết:

    cos(v/2) = √{1 – sin^2(v/2)} = √{1 – ([√π - √(4 - π)]/(2√2))^2}

    = √[(4 + 2√(π(4 – π))/8] = (1/2)√{2 + √[π(4 – π)]}.

    OV = |Oa’|cos(v/2) = (a/√π) x (1/2)√{2 + √[π(4 – π)]}

    = (a/2√π)√{2 + √[π(4 – π)]}

    Ngoài ra:

    v = 2arcsin{[√π - √(4 - π)]/(2√2)}.

    Diện tích hình quạt tròn h’Oa’

    = (v/360) x Diện tích (O, s) = (a²/180)arcsin{[√π - √(4 - π)]/(2√2)}.

    Diện tích viên phân cạnh h’a’ = Diện tích quạt tròn h’Oa’ - (1/2) |h’a’| x OV

    = (a²/180)arcsin{[√π - √(4 - π)]/(2√2)} – (1/2) x a[√π - √(4 - π)]/√(2π) x (a/2√π)√{2 + √[π(4 – π)]}

    = (a²/4){(1/45) arcsin{[√π - √(4 - π)]/(2√2)} – (1/π√2)[√π - √(4 - π)]√{2 + √[π(4 - π)]}.

    Diện tích tam giác vuông cân Aa’h’ = (1/2)|Oa’|^2

    = (1/2){(a - a√[(4 – π)/π])/2}^2

    = (a²/8){1 - √[(4 – π)/π]}^2 = (a²/8π)[√π - √(4 – π)]^2.

    Do đó, diện tích cung - conic vuông Aa’h’ là:

    (a²/8π)[√π - √(4 - π)]^2 - (a²/4){(1/45)arcsin{[√π - √(4 - π)]/(2√2)} – (1/π√2)[√π - √(4 - π)]√{2 + √[π(4 – π)]}

    = (a²/4){(1/2π)[√π - √(4 - π)]^2 + (1/π√2)[√π - √(4 - π)]√(2 + √[π(4 – π)]) - (1/45)arcsin([√π - √(4 - π)]/(2√2))}. (2)

    = 0.0226364922 a². (2’) (sử dụng một scientific calculator)

    So sánh (1’) và (2’), ta thấy diện tích viên phân loại 1 bằng diện tích cung - conic vuông như khẳng định trong phần c), Định lý 1, của tác giả Trần Đình Sơn.

  • Comment Link Đông Hà mercredi, 12 juin 2024 19:05 posted by Đông Hà

    Ba bài toán cổ Hy Lạp từ lâu đã được chứng minh là không thể giải được (Wantzel-1837, Lindemann-1882).
    Hiện nay ta có thể tìm hiểu tại sao mấy bài toán này lại không thể giải được trong các sách giáo khoa về đại số ở đại học.

    Tỷ dụ cuốn Abstract Algebra (Charles.C.Pinter) đã dành chương 30 (Ruler and Compass) để giới thiệu về ba bài toán cổ này, cùng với các định lý chứng minh rằng:
    - nhân đôi khối vuông (định lý 2),
    - chia ba một góc (định lý 3),
    - làm vuông hình tròn (định lý 4)
    bằng thước thẳng và com-pa là bất khả.

    Nhiều sách đại số khác, tỷ dụ
    - Modern Algebra (John.R.Durbin)
    - Contemporary Abstract Algebra (Joseph.A.Gallian) ,
    trong các chương về Geometric Constructions cũng có nói đến đề tài này và giải thích lý do tại sao lại là bất khả.

    Tuy nhiên vì nội dung ba bài toán này rất dễ hiểu, cho nên nhiều người vẫn không tin là không thể giải nổi, vẫn tiếp tục công việc tìm tòi, và dĩ nhiên là vẫn tiếp tục thất bại.
    Có vài cuốn để đọc cho vui về những trường hợp này: “A Budget of Paradoxes” (A. De Morgan), “A Budget of Trisections” (U.Dudley).

  • Comment Link Hoàng Trường Sa mercredi, 05 juin 2024 02:09 posted by Hoàng Trường Sa

    Đây là phần tiếp theo của ý kiến ngày 01/06/2024 của tôi. Mục đích của phần này là chứng minh rằng nếu có một hình tròn (O, s) đồng tâm với hình vuông ABCD, cạnh bằng a, và có cùng diện tích a² với ABCD, thì hình bát giác do (O, s) và ABCD tạo ra sẽ không đều, vì các cạnh loại 1 của nó dài hơn các cạnh loại 2. Hậu quả là vòng tròn (O, a/2) sẽ không phải là vòng tròn nội tiếp của hình bát giác này. Do đó, (O, a/2) không thể dùng làm Thước Kiến Tạo để giải bài toán “Làm tròn hình vuông” theo cách của tác giả Trần Đình Sơn.

    Cho một hình vuông ABCD, tâm O, cạnh bằng a. Giả sử có một vòng tròn (O, s) cùng diện tích a² với hình vuông ABCD, thì điều chắc chắn là s > r = a/√(2 + √2), bán kính của vòng tròn (O, r) của tác giả Trần Đình Sơn như trình bày trong ý kiến trước. Vòng tròn (O, s) cũng cắt hình vuông ABCD tại 8 điểm a’, b’, c’, d’, e’, f’, g’, h’. Gọi L là chiều dài của cạnh |a’b’|, có trung điểm là trung điểm M của AB. Định lý Pythagore áp dụng cho tam giác vuông a’MO cho ta:

    s² = |Oa’|² = |OM|² + |Ma’|² = (a/2)² + (L/2)² = (a² + L²)/4.

    Vì diện tích của (O, s) là πs² = a², ta có:

    πs² = π(a² + L²)/4 = a² a² + L² = 4a²/π.

    Do đó: L² = 4a²/π - a² = a²(4/π – 1) = a²(4 - π)/π

    Do đó: L = a√[(4 - π)/π] (4)

    Để thấy L > l, cạnh của hình bát giác đều abcdefgh trong ý kiến của tôi ngày 01/06/2024, ta viết những mệnh đề tương đương ({=}) sau đây vì các số a, π, 4 - π, √2, đều > 0:

    L = a√[(4 - π)/π] > l = a/(1+√2) {=} √[(4 - π)/π] > 1/(1 +√2)

    {=} √(4 – π)/√π > 1/(1 +√2)

    {=} (1 +√2)√(4 – π) > √π

    {=} (1 + √2)²(4 – π) > π

    {=} (3 + 2√2)(4 – π) > π

    {=} 12 - 3 π + 8√2 - 2√2 π > π

    {=} √2(8 - 2π) > 4π – 12

    {=} 2(64 + 4π² - 32 π) > 16π² + 144 - 96π

    {=} 128 + 8π² - 64π > 16π² + 144 - 96π

    (=} 0 > 8π² - 32π + 16

    {=} 0 > π² - 4π + 2 (5)

    Bất đẳng thức (5) đúng vì P(x) = x² - 4x + 2 có hai nghiệm số là x = 2 - √2
    và x = 2 + √2 nên P(π) trái dấu với hệ số 1 của x² vì π nằm trong khoảng 2 nghiệm số này. Do đó L > l.

    Vì |ha| = (a – l)/√2 và |h’a’| = (a – L)/√2 nên L>l ==> |ha| > |h’a’|.

    Nhưng |ha| = l nên cạnh (loại 2) |h’a’| của hình bát giác a’b’c’d’e’f’g’h’ sẽ nhỏ hơn l và do đó nhỏ hơn L (cạnh loại 1). Vậy hình bát giác a’b’c’d’e’f’g’h’ là một hình bát giác không đều (các cạnh loại 1 dài hơn các cạnh loại 2) và do đó không nhận vòng tròn (O, a/2) làm vòng tròn nội tiếp. Nói rõ hơn, do khoảng cách từ O tới trung điểm của h’a’ lớn hơn a/2, vòng tròn (O, a/2) không tiếp xúc với h’a’. Tương tự, (O, a/2) không tiếp xúc với b’c’, d’e’, f’g’.

    Như vậy (O, a/2) không thể dùng làm Thước Kiến Tạo để dùng compa và thước thẳng vẽ ra vòng tròn (O, s) có diện tích bằng a² cho bài toán “Làm tròn hình vuông”, và bài toán vẫn chưa giải được.

  • Comment Link Đông Hà mardi, 04 juin 2024 16:48 posted by Đông Hà

    Trong bình luận ngày 1/6/2024, khi nhận xét về bài “Làm tròn hình vuông”, tôi đã chứng minh rằng hình bát giác abcdefgh không phải là một hình bát giác đều, cho nên định lý 2 (trang 20) trong bài này là sai.
    Các định lý sau chỉ là những ứng dụng của định lý 2 nói trên, cho nên một khi định lý 2 đã sai, thì những định lý khác dựa vào đó cũng không còn có thể sử dụng được.
    Do đó “Thước Kiến Tạo” cho bài “Làm tròn hình vuông” không dùng được.

    Một bài khác của Trần Đình Sơn có liên hệ mật thiết với bài “Làm tròn hình vuông” là bài “Làm vuông hình tròn” (Exact Squaring the Circle…”, IJMTT, 6/2023).
    Bài này cũng có định lý 2 (trang 42) tương tự như định lý 2 trong bài “Làm tròn hình vuông”, với nội dung là giao điểm của một hình vuông và một vòng tròn, cùng tâm và cùng diện tích, sẽ tạo ra một hình bát giác đều.
    Định lý này cũng không đúng vì hình bát giác này không phải là một hình bát giác đều. Ta có thể chứng minh điều này như cách đã chứng minh về bài “Làm tròn hình vuông” trong bình luận ngày 1/6..
    Do đó “Thước Kiến Tạo” cho bài “Làm vuông hình tròn” cũng không dùng được.

  • Comment Link Đông Hà samedi, 01 juin 2024 15:04 posted by Đông Hà

    Định lý 2 (trang 20) trong bài “Làm tròn hình vuông” (Circling the Square, ỊJMTT, 1/2024) của Trần Đình Sơn cho rằng hình bát giác abcdefgh là một hình bát giác đều.
    Thực ra điều này không đúng. Hình bát giác abcdefgh là một hình bát giác không đều.
    Dưới đây là phần chứng minh.
    Hình vẽ được sử dụng là hình 2, trang 18, trong bài trên.

    Cho ABCD là một hình vuông tâm O, mỗi cạnh = 1.
    Cho (O, r) là một vòng tròn tâm O, bán kính r, sao cho πr² = 1.
    Các giao điểm của ABCD với (O, r) sẽ tạo ra một hình bát giác abcdefgh. Để tiện cho việc trình bày, giả sử rằng cạnh ab của hình bát giác abcdefgh nằm trùng với cạnh AB của ABCD.
    Gọi M là trung điểm của AB, như thế M cũng là trung điểm của ab.
    Áp dụng đinh lý Pythagoras đối với tam giác vuông aOM:
    Ta có |aM|² = |aO|² - |MO|² = r² - (1/2)² = r²-1/4.
    Do đó |aM| = √(r²-1/4).
    Do đó |ab| = 2|aM| = 2√(r²-1/4).

    Mặt khác, |Aa| = |AM| - |aM| = 1/2 - √(r²-1/4).
    Xét tam giác vuông Aha. Vì tính đối xứng của hình vuông và vòng tròn trong hình vẽ, tam giác Aha cũng là một tam giác cân tại A.
    Do đó |ha| = |Aa| √2 = √2(1/2 - √(r²-1/4)).

    Bây giờ so sánh hai cạnh ha và ab của hình bát giác abcdefgh.
    Ta sẽ chứng minh |ha| ≠ |ab| bằng phương pháp proof by contradiction.
    Giả thiết |ha| = |ab|.
    Với giả thiết này, ta sẽ có √2(1/2 - √(r²-1/4)) = 2√(r²-1/4).
    Do đó √2/2 - √2√(r²-1/4)) = 2√(r²-1/4).
    Do đó √(r²-1/4)(2+√2) = √2/2.
    Do đó √(r²-1/4) = √2/2(2+√2).
    Do đó r²-1/4 = 2/4(2+√2)².
    Sau khi triển khai và đơn giản hóa, r² = 1/(2+√2).
    Như trên có nói, πr² = 1. Do đó π = 1/ r² = 2+√2.

    Điều này cho thấy π là một số đại số, nhưng cũng chính vì thế mà nó mâu thuẫn với sự thực mà ta đã biết từ trước là π là một số siêu việt.
    Do đó giả thiết |ha| = |ab| là sai. Do đó |ha| ≠ |ab|.
    Do đó abcdefgh là một hình bát giác không đều.

  • Comment Link Hoàng Trường Sa samedi, 01 juin 2024 11:31 posted by Hoàng Trường Sa

    Cho một hình vuông ABCD, tâm O, cạnh bằng a. Hình vuông này có vòng tròn nội tiếp là vòng tròn (O, a/2) tiếp xúc với nó lần lượt tại trung điểm M, N, P, Q của AB, BC, CD, và DA. Hình vuông ABCD có vòng tròn ngoại tiếp là vòng tròn (O, a/√2).

    Như nhận xét của tác giả Trần Đình Sơn, nếu có một vòng tròn (O, r) có diện tích bằng với diện tích a^2 của hình vuông ABCD thì vòng tròn này phải nằm trong hình vành khăn (annulus) giới hạn bởi vòng tròn trong là (O, a/2) và vòng tròn ngoài là (O, a/√2), vì ∏r² = a² nằm giữa ∏a²/4 và ∏a²/2. Từ nhận định này, tác giả cố gắng dùng Hình học Kiến tạo (Construction Geometry) để tìm vị trí chính xác của vòng tròn (O, r) bằng cách chỉ sử dụng compa và thước thẳng qua trung gian của hình bát giác abcdefgh mà (O,r) và hình vuông ABCD tạo ra.

    Do sơ sót (flaw) trong chứng minh Định lý 2, tác giả đi tới kết luận rằng hình bát giác abcdefgh là một bát giác đều có vòng tròn (O,a/2) là vòng tròn nội tiếp mà tác giả gọi là THƯỚC KIẾN TẠO của bài toán LÀM TRÒN HÌNH VUÔNG. Từ thước kiến tạo (O, a/2), dùng compa và thước thẳng ta có thể vẽ ra (kiến tạo) bát giác đều abcdefgh. Vòng tròn đáp số của bài toán sẽ là vòng tròn tâm O bán kính là khoảng cách (bằng nhau) từ O tới các đỉnh a, b, c, d, e, f, g, h.

    Tiếc thay, như bạn NTT đã chỉ ra, vòng tròn này có diện tích nghiêm túc nhỏ hơn (strictly smaller than) a^2. Diện tích của nó chỉ khoảng độ 92% của a^2 mà thôi. Nên là đáp số sai. Dĩ nhiên, để tìm đáp số đúng, ta phải dùng vòng tròn (O, s) khác, với bán kính s lớn hơn bán kính r của vòng tròn (O, r) nói trên. Vòng tròn (O, s) này cũng ngoại tiếp với một hình bát giác a’b’c’d’e’f’g’h’ khác, nhưng là một hình bát giác không đều, với 4 cạnh nằm trên cạnh của hình vuông (mà tôi gọi là cạnh loại 1) dài hơn 4 cạnh nằm đối diện với 4 góc vuông A, B, C, D, (mà tôi gọi là cạnh loại 2).

    Trong loạt ý kiến này, tôi sẽ lần lượt chứng minh những điều tôi vừa nói. Đó là, trước hết tìm chiều dài “l” (lờ nhỏ) của cạnh |ab| sao cho abcdefgh là một hình bát giác đều, và chứng minh lại rằng với chiều dài “l” bằng nhau của 8 cạnh của bát giác này, nếu tính diện tích của vòng tròn (O,r) thì tỷ số giữa hai diện tích của vòng tròn (O,r) và hình vuông ABCD là nghiêm túc nhỏ hơn 1, như công thức do bạn NTT đưa ra trước đây. Kế đó, tôi sẽ thay chiều dài “l” này bằng chiều dài “L” (lờ lớn) sao cho diện tích của vòng tròn tương ứng (O, s) ngoại tiếp với hình bát giác do (O, s) và ABCD tạo ra sẽ có diện tích chính xác là a^2, diện tích của hình vuông ABCD. Buồn thay, vòng tròn (O, s) này lại có bán kính là s = a/√∏, một điều ai cũng biết trước. Vòng tròn (O, s) này và hình vuông ABCD tạo ra một hình bát giác không đều abcdefgh mới, và không còn có (O, a/2) là vòng tròn nội tiếp, do đó (O, a/2) không còn đóng được vai trò của một THƯỚC KIẾN TẠO. Nói cách khác, ta không còn có thể dùng (O, a/2) để vẽ ra vòng tròn (O, s) bằng compa và thước thẳng, và một lần nữa cho thấy bài toán “Làm tròn hình vuông” đặt ra theo tinh thần cổ xưa của các toán gia Hy Lạp cổ (với đòi hỏi chỉ được phép dùng compa và thước thẳng) vẫn chưa được giải xong theo cách “trung học” này.

    Ngoài ra, tôi sẽ dùng các phép tính giải tích thông thường để chứng minh là với vòng tròn (O, s) nói trên, chẳng những diện tích của nó bằng diện tích của hình vuông ABCD mà diện tích của các cung-conic vuông cũng bằng với diện tích của các viên phân loại 1 (tức là các viên phân có cạnh nằm trên các cạnh của hình vuông ABCD). Nói cách khác, xác nhận lại rằng Định lý 1 của tác giả Trần Đình Sơn là hoàn toàn đúng và cách chứng minh bằng lý luận hình học của tác giả là rất đẹp (very elegant).

    Như đã nói trên đây, vòng tròn (O, r) với bán kính r lớn hơn a/2 và nhỏ hơn a/√2 sẽ cắt hình vuông ABCD tại 8 điểm a, b, c, d e, f. Gọi “l” là chiều dài của cạnh |ab| (Hình 9, trang 23 trong bài “Làm tròn hình vuông” của tác gìả Trần Đình Sơn). Tôi sẽ tính l theo a sao cho abcdefgh là một hình bát giác đều.

    Do tính đối xứng của hình vẽ, ta có:

    |Aa| = |bB| = |Bc| = |dC| = |Ce| = |fD| = |Dg| = |hA|.

    Vì |Aa| = |bB| và |ab| = l nên:

    |Aa| = (a – l)/2 (1)

    Tam giác vuông cân Aah và (1) cho ta:

    |ah| = |Aa|√2 = [(a – l)/2]√2 = (a – l)/√2 (2)

    Do đó, điều kiện cần và đủ để cho abcdefgh là một hình bát giác đều là |ab| = |ah| (cạnh loại 1 = cạnh loại 2), nghĩa là:

    l = (a – l)/√2 (theo (2))

    Do đó:

    a – l = l√2 ==> a = l(1 + √2)

    Hay: l = a/(1 + √2). (3)

    Bán kính r của vòng tròn ngoại tiếp với hình bát giác đều abcdefgh sẽ là:

    r^2 = (a/2)^2 + (l/2)^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2[1/(1+√2)^2] (theo (3))

    = (a/2)^2[1 + 1/(1+√2)^2]

    = (a/2)^2[(1+3+2√2)/(3+2√2)]

    = (a/2)^2[(4+2√2)/(3+2√2)] = (a/2)^2[(4+2√2)(3-2√2)/(9-8)]

    = (a/2)^2[12 - 8√2 + 6√2 -8] = (a/2)^2[4 - 2√2] = (a^2/2)(2 - √2)

    = (a^2/2)(2-√2)(2+√2)/(2+√2)

    = a^2/(2 + √2). (Thấy lại kết quả của bạn NTT)

    Do đó, diện tích của vòng tròn (O, r) là ∏r² = ∏a²/(2+√2) = a²∏/(2+√2).

    Do đó: Diện tích (O, r)/ Diện tích ABCD = ∏/(2+√2) = 0.9201511845, nghiêm túc nhỏ hơn 1.

    Do đó vòng tròn (O, r) không phải là đáp số đúng của bài toán “Làm tròn hình vuông” vì diện tích của nó nghiêm túc nhỏ hơn (strictly smaller than) diện tích của hình vuông đã cho.

    Đáp số đúng phải là vòng tròn (O, s) với s lớn hơn r mà tôi sẽ cố tìm trong phần tiếp theo. Rất tiếc là vòng tròn này không thể kiến tạo được theo phương cách như đề ra của các toán gia cổ Hy Lạp. Lý do mà ngày nay ta đã biết là diện tích của vòng tròn dính vào số ∏, một số siêu việt (transcendental number).

  • Comment Link Hoàng Trường Sa lundi, 27 mai 2024 09:50 posted by Hoàng Trường Sa

    Trong ý kiến trước, tôi đã trình bày những Định lý (Theorems) của tác giả Trần Đình Sơn trong bài “Làm tròn hình vuông” (Circling the Square…). Trong 4 định lý này thì, theo tôi, Định lý 2 (Định lý PHÂN TÍCH – ANALYSIS Theorem) là định lý cốt lõi của bài báo. Định lý 1 có thể xem như là Bổ đề (Lemma) dùng để chứng minh Định lý 2. Các Định lý 3 và Định lý 4 là những kết quả đơn giản của Định lý 2. Chúng là những Hệ luận (Corollaries) của Định lý 2.

    Sau khi đọc kỹ bài báo, nhận định chủ quan của tôi như sau: Định lý 1 của tác giả hoàn toàn chính xác và được chứng minh nghiêm túc. Các Định lý 3 và Định lý 4 hiển nhiên đúng NẾU Định lý 2 (Định lý PHÂN TÍCH) đúng. Tuy nhiên, chứng minh của tác giả cho Định lý 2 tôi thấy không được thuyết phục.

    Do tính đối xứng của hình vẽ (từ sự kiện là vòng tròn (O,r) và hình vuông ABCD có chung tâm điểm O), dễ thấy là vòng tròn (O,r) và hình vuông ABCD tạo ra hai loại viên phân (circle segments) khác nhau. Loại 1 là những viên phân có dây cung là cạnh nằm trên các cạnh của hình vuông ABCD (các cạnh ab, cd, ef, gh) và loại 2 là những viên phân có dây cung là cạnh đối diện với 4 góc vuông A, B, C, D và nằm kề với 4 cung-conic vuông Aah, Bcb, Ced, Dgf (tức là các cạnh ha, bc, de, fg). Các viên phân trong cùng một loại thì bằng nhau. Nhưng viên phân thuộc hai loại khác nhau không nhất thiết phải bằng nhau. Chúng chỉ bằng nhau khi abcdefgh là một hình bát giác đều, nghĩa là 8 dây cung bằng nhau. Kết quả trong đoạn c) của Định lý 1, theo tôi, là không đủ bảo đảm cho kết luận là những dây cung loại 1 và loại 2 bằng nhau, nghĩa là để kết luận rằng hình bát giác abcdefgh là một bát giác đều.

    Trong chứng minh của Định lý 2 tác giả đã sử dụng phần c) là các cung-conic vuông có cùng diện tích với các viên phân loại 1 để chứng minh rằng abcdefgh là một hình bát giác đều, và từ đó tác giả chứng minh hình bát giác này ngoại tiếp với vòng tròn (O, a/2) (Định lý 3).

    Giả sử Định lý 2 đúng thì ta có những kết luận sau đây: (i) Vòng tròn (O, r) có cùng diện tích a^2 với hình vuông ABCD; (ii) Hình bát giác abcdefgh là bát giác đều nội tiếp với vòng tròn (O, r); (iii) Vòng tròn (O, a/2) nội tiếp với hình bát giác abcdefgh và với hình vuông ABCD.

    Với giả sử Định lý 2 là đúng, tôi sẽ chứng minh rằng diện tích của cung-conic vuông Aah không thể bằng với diện tích của viên phân có dây cung ab. Điều này mâu thuẩn với Định lý 1 mà theo tôi là hoàn toàn đúng. Do đó Định lý 2 phải sai.

    Thật vậy, nếu abcdefgh là một bát giác đều thì cả 8 viên phân thuộc hai loại 1 và 2 đều bằng nhau, nên:

    Viên phân có dây cung ha = Viên phân có dây cung ab. (1)

    Do đó, hai viên phân trong (1) có chung diện tích, ta gọi là S.

    Ngoài ra:

    Diện tích cung-conic vuông Aah = Diện tích tam giác vuông cân Aah - Diện tích viên phân có dây cung ah = Diện tích tam giác vuông cân Aah - Diện tích viên phân có dây cung ab. [Vì 8 viên phân bằng nhau do abcdefgh là bát giác đều].

    Gọi T là diện tích của tam giác vuông cân Aah thì:

    Diện tích cung-conic vuông Aah = T – S. (2)

    Bằng phép chứng minh phản chứng (By contradiction), giả sử diện tích cung- conic vuông Aah = diện tích viên phân ab, tức là T – S = S, ta có:

    T = 2S. (3)

    Thế nhưng, dễ thấy (chi tiết sẽ ghi lại trong phần cuối):

    T = (a^2/4)(3 - 2√2). (4)

    S = (a^2/8) )[(∏ - 2√2)/(2 + √2) ] (5)

    Do đó, thế (4) và (5) vào hai vế của (3) ta có:

    (a^2/4)(3 - 2√2) = (a^2/4)[(∏ - 2√2)/(2 +√2)]

    Do đó:

    3 - 2√2 = (∏ - 2√2)/(2 + √2)

    Nên: (3 – 2V2)(2 + √2) = ∏ - 2√2.

    Khai triển vế bên trái, ta được:

    6 + 3√2 - 4√2 – 4 = ∏ - 2√2

    2 - √2 = ∏ - 2√2

    ∏ = 2 + √2. (6)

    Như trước đây, (6) chứng tỏ rằng ∏ là số đại số (vì là nghiệm số của đa thức có hệ số nguyên x^2 – 4x + 2). Điều này mâu thuẩn (contradict) với sự kiện ∏ là số siêu việt. Do đó, diện tích cung - conic vuông Aah khác với diện tích viên phân có dây cung là ab.

    Điều này phủ định phần c) của Định lý 2. Do đó Định lý 2 là sai.

    CHI TIẾT CÁC PHÉP TÍNH T VÀ S

    Hình vẽ được sử dụng trong phần chứng minh dưới đây là hình 9, trang 23 của tác giả Trần Đình Sơn như trong bình luận ngày 07/05/2024 của bạn NTT.

    Để tính T và S, ta sử dụng những kết quả trước đây:
    cos(22.5) = [√(2 + √2)]/2 ==> sin(22.5) = [√(2 - √2)]/2

    Gọi M là trung điểm của dây cung ha, và gọi L là chiều dài của dây cung của hình bát giác đều abcdefgh.Xét tam giác aOh, ta có:

    OM = |Oa|cos(22.5) = rcos(22.5) ==> a/2 = r[√(2 + √2)]/2. (vì OM = a/2)

    Do đó: r = a/√(2 + √2).

    L = 2|Ma| = 2|Oa|sin(22.5) = 2rsin(22.5)

    = 2[a/√(2 + √2)] [(√(2 - √2)/2] = a[(√(2 - √2)/(√(2 + √2)]

    = a[(√(2 - √2)(√(2 + √2)]/(2 +√2) = (a√2)/(2 + √2).

    Do đó, cạnh của tam giác vuông cân Aah là:

    |Aa| = (a – L)/2 = (1/2)[a - (a√2)/(2 + √2)] = a/(2 + √2).

    Diện tích của tam giác vuông cân Aah là:

    T = (1/2) |Aa|^2 = (1/2) a^2/(2 + √2)^2 = (a^2)/2(6 + 4√2)

    = (a^2/4)[1/(3 + 2√2) = (a^2/4)[1/(3+2√2)][(3 - 2√2)/ (3 - 2√2)]

    = (a^2/4)[(3 - 2√2)/(9 - 8)] = (a^2/4)(3 - 2√2).

    S = (1/8)diện tích vòng tròn (O, r) - diện tích tam giác aOh

    = (1/8) ∏r² - (1/2)L|OM| = (1/8) ∏r² - (1/2)[(a√2)/(2 + √2)](a/2)

    = (1/8) ∏ (a^2)/(2 + √2) – (a^2/4) (√2)/(2 + √2)

    = (a^2/8)[ ∏/(2 +√2) - 2√2/(2 + √2) ]

    = (a^2/8)[(∏ - 2√2)/(2 + √2)].

  • Comment Link Hoàng Trường Sa mardi, 21 mai 2024 11:37 posted by Hoàng Trường Sa

    Trong bài báo “Circling the Square…” (International Journal of Mathematics Trends and Technology, Vol 70, Issue 1, Jan 2024), của tác giả Trần Đình Sơn, sau khi định nghĩa Cung-Conic Vuông (Right Conical-Arcs) của một vòng tròn, tác giả chứng minh Theorem 1, trang 18, sau đây mà ông sẽ dùng để chứng minh Theorem 2 “ANALYSIS Theorem” (và những Định lý 3 và 4 tiếp theo) giúp ông cách giải bài toán:

    Định lý 1 (Theorem 1):

    Cho một hình vuông ABCD cạnh bằng a, tâm O. Giả sử có một vòng tròn (O,r) đồng tâm với ABCD và có diện tích ∏r² = a², thì

    a) Vòng tròn (O,r) cắt hình vuông ABCD tại 8 điểm a,b,c,d,e,f,g, và h;

    b) Hình vuông ABCD và vòng tròn (O,r) tạo ra 4 viên phân (circle segments) bằng nhau nằm chồng trên 4 cạnh AB, BC, CD, và DA của hình vuông ABCD và nằm ngoài hình vuông (Figure 2). Kết quả này chứng minh rằng diện tích của 4 Cung - Conic Vuông (Right Conical - Arcs) cũng bằng nhau;

    c) Diện tích của 4 Cung-Conic-Vuông tạo nên bởi 4 góc vuông A, B, C, D, và 4 cung tròn ha, bc, de, và ef thì bằng diện tích của 4 viên phân nói trong phần b trên đây.

    Định lý 2 (Định lý PHÂN TÍCH – ANALYSIS Theorem)

    Cho một hình vuông cạnh a, diện tích a². Nếu ta giả sử có một vòng tròn (O,r) đồng tâm với hình vuông ABCD và có diện tích ∏r² = a², thì bốn cạnh của hình vuông ABCD nằm trùng với 4 cạnh không kề nhau của một hình bát giác đều abcdefgh nội tiếp với vòng tròn (O,r).

    Định lý 3

    Hình bát giác đều trong Định lý 2 có vòng tròn (O, a/2) là vòng tròn nội tiếp, và vòng tròn này cũng là vòng tròn nội tiếp của hình vuông ABCD.

    Định lý 4 (Định lý về THƯỚC KIẾN TẠO – RULER Theorem)

    Vòng tròn (O,r), diện tích a^2 bằng với diện tích a^2 của hình vuông ABCD có cạnh a, và được đề cập trong Định lý PHÂN TÍCH trên đây, tạo ra (creates) vòng tròn nội tiếp (O,a/2) của hình vuông. Vòng tròn (O,a/2) này được gọi là THƯỚC KIẾN TẠO của bài toán “LÀM TRÒN HÌNH VUÔNG”.

    Chú thích: “Viên” là hình tròn (hay hình cầu), “Phân” là một phần. VIÊN PHÂN (circle segment) là phần của hình tròn nằm giữa cung tròn và dây cung.

  • Comment Link Hoàng Trường Sa samedi, 18 mai 2024 05:03 posted by Hoàng Trường Sa

    Trong bình luận ngày 07/05/2024, bạn NTT đã làm một bài toán đơn giản để chứng minh rằng kết quả trong bài “Làm tròn hình vuông”, tức là bài “Circling the Square…” (International Journal of Mathematics Trends and Technology, Vol 70, Issue 1, Jan 2024), của bạn Trần Đình Sơn là sai. Lý do đơn giản là diện tích của vòng tròn (O, r) trong kiến tạo của bạn Trần Đình Sơn không thể nào bằng diện tích a² của hình vuông ABCD, vì nếu ∏r² = ∏a²/(2+√2) mà bằng với a² thì ∏/(2+√2) = 1, một điều không thể có được, vì điều này mâu thuẩn (contradict) với việc ∏ là một số siêu việt (transcendental number).

    Ta có thể chứng minh như sau. Nếu ∏/(2+√2) = 1, thì ∏ = 2+√2, do đó:

    ∏ - 2 = √2 (1)

    Lấy bình phương hai vế của (1) ta có:

    (∏ - 2)^2 = ∏^2 - 4∏ + 4 = 2.

    Suy ra:

    ∏^2 - 4∏ + 2 = 0 (2)

    Do đó, ∏ là một số đại số (algebraic number) vì nó là một nghiệm số của đa thức bậc 2 có các hệ số 1, -4, 2 là những số nguyên. Điều này mâu thuẩn (contradict) với kết quả đã biết là ∏ là một số siêu việt (transcendental number), mà theo định nghĩa, là một số không phải là nghiệm của một đa thức có hệ số là những số nguyên (integers). Cần lưu ý rằng số đại số và số siêu việt là hai loại số đối nghịch nhau. Đã là số siêu việt thì không là số đại số, và ngược lại.

    Về số siêu việt, kính mời quý vị xem:

    https://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html

Viết bình luận

Phải xác tín nội dung bài viết đáp ứng tất cả những yêu cầu của thông tin được đánh dấu bằng ký hiệu (*)